Az alábbi szövegben nem lesznek matematikai formulák. Reményeim szerint majdnem mindenki el tudja olvasni, ez egy vulgárfilozófiai esszé.
1. Tér és Idő.
Képzeljünk magunk elé egy kört. Forgassuk el az óramutató járásával ellentétes irányban valamilyen szöggel. Nevezzük a szöget alfának. Az alfa még nem matematika, lásd alfa és omega, a vulgárfilozófiában is van alfa.
Az első másodperc története a forgatás. Minden pont a körön elfordul alfa szöggel. Legyen az alfa pont tíz fok. Miért is ne? A következő másodpercben újra tíz fokkal forgatjuk el a szöget, aztán megint tíz fokkal és így tovább.
Harminchat másodperc múlva mindenki ott lesz ahonnan elindult. Ha alfa hét fok lenne, akkor háromszázhatvan forgatás után kerülne minden pont a helyére. Vannak olyan alfák, amelyekkel újra és újra elforgatva soha nem kerülnek vissza a pontok az eredeti helyükre, például ha az alfa éppen négyzetgyök kettő fokos. Ezt már a görögök is tudták.
A Tér a kör, az Idő telése pedig a forgás.
2. Rész és Egész.
Színezzük pirosra a kör pontjainak egy részét. Kettévághatjuk a kört egy egyenessel és az egyik felét színezhetjük pirosra, kisebb darabokat is választhatunk, és ezekből a kisebb darabokból is összeállíthatunk olyan részeket, amelyeket aztán pirosra színezhetünk. Mi az esélye annak, hogy egy véletlenül eldobott homokszem pont a piros részre esik? Ha kettévágjuk a kört akkor 50 százalék, ha ezt a részt pontosan kettévágjuk és azt színezzük pirosra, akkor 25 százalék, ez remélhetőleg még vulgárfilozófiának nevezhető. Úgy is gondolkozhatunk, hogy a teljes kör súlya egy kiló, akkor két félkilós részre vágnánk, majd azokat negyedkilós darabokra. Mindenféle darabokat vághatunk ki a körből, harminchét dekásat, vagy pi per tizenhárom dekásat is. Ha negyedkilós a darab, akkor huszonöt százalék az esélye annak, legalábbis vulgárfilozófiailag, hogy a véletlenül eldobott homokszem pontosan a darabkára esik.
3. Megmaradás.
Fogjuk meg a kör egy részét és forgassuk el alfa szöggel. Nem fog megváltozni a súlya. Másképpen szólva, annak az esélye, hogy a homokszem a részre esik pontosan annyi, mint annak az esélye, hogy az elforgatott részre esik. A súly mindig megmarad a forgás közben.
4. A Dinamika avagy már a görögök is.
Most a Nap körüli bolygókat fogjuk meg. Heliocentrikus világképünkben minden egyes bolygóhoz három koordinátát adhatunk meg, amelyek segítségével leírhatjuk pillanatnyi helyzetüket. Újabb három koordináta segítségével megadhatjuk pillanatnyi sebességüket. Az összes koordináta összesen 48 számot ad, hiszen amióta a Plútót kigolyózták nyolc bolygónk van. Egy 48 dimenziós tér egy pontja írná le a bolygók pillanatnyi állapotát, egy másodperc múlva egy másik pont és így tovább és így tovább. Tudom, hogy a vulgárfilozófia határára érkeztünk, nem is megyek tovább, de remélem, hogy az Olvasó észleli az analógiát a kör forgatásával.
Minek van súlya, hol a homokszem? Több mint száz éve tudják, hogy a bolygóhelyek lehetséges halmazán értelmezhető egy olyan súlyfogalom, ami megmarad, miközben telik az idő. Ez a mi Dinamikánk. Van valami Tér, amin telik az Idő, minden másodpercben a pontok új helyre kerülnek és egy rész súlya, homokszemesélye, térfogata, ahogy tetszik, nem változik meg az Idő múlásával.
Esszénk valamennyi rendszerében visszaforgatható az Idő, tehát mindig megmondhatjuk, hogy egy pont egy másodperccel ezelőtt hol volt éppen.
5. A Káosz ígérete.
Ez egy vulgárfilozófiai esszé. A Dinamikában a Káosznak van egy definíciója, én most egy vulgárfilozófiai definícióval fogok dolgozni, ami azonban meglehetősen jó. Ami most jön, az egy kicsit bátor lesz, de még mindig vulgárfilozófia és nem matematika. Jó, ez igazából egy kicsit matematika, de csak egy kicsit.
Lesz tehát egy Terünk, amin telik az Idő, a Tér darabjainak lesz Súlya, Homokszemesélye, Valószínűsége, ami nem változik az Idő múlásával.
6. A Függetlenségről (mellékszál).
A Tér egy darabját eseményként is felfoghatjuk, annak eseményeként, hogy a véletlenül elszálló homokszem pont a darabunkon landol. Remélem még belefér a vulgárfilozófiába a függetlenség fogalma. Két esemény akkor független egymástól, ha abból, hogy tudom, hogy az egyik bekövetkezik semmiféle tudásom nem keletkezik arra nézvést, hogy a második bekövetkezik-e vagy sem. Ha hétfőn is dobok egy kockával és kedden is, akkor abból, hogy hétfőn hatost dobtam nem leszek semmivel sem bizonyosabb a keddi dobás kimenetelében, mintha egyáltalán nem dobtam volna hétfőn. Két esemény akkor független, ha az együttes bekövetkezésük valószínűsége a valószínűségeik szorzata. Ez talán nem egészen vulgárfilozófia, de igaz.
Puristább matematikusok valószínűleg sikítófrászt kapnak attól, hogy nem bontom ki az Igazság minden szeletét, tehát nem beszélek arról, hogy bizonyos Részek egyenlőbbek bizonyos más Részeknél, de ez egy vulgárfilozófiai esszé és nem csajozós duma a Vitali-halmazról.
7. Káosz I. avagy minden összekeveredik.
Adott a Dinamikánk, Térrel, Idővel, és a Megmaradó Súllyal. Fogjunk meg két részt. Ezeket eseményeknek értelmezzük, és akkor függetlenek, ha a súlyuk szorzata pontosan a közös részük súlya. Ha kettévágjuk a kört az első példánkban, igen távol vagyunk a függetlenségtől. Nem olyan nehéz persze két fél súlyú részt elképzelni, amelyek közös része, tancsinénis nyelven metszete, pontosan egynegyed súlyú.
Az Elsőszámú Káosz azt csinálja, hogy az ember kiválaszt két részt A-t és B-t, majd az A részt kezdi mozgatni az Idővel és a B-vel nem csinál semmit, akkor egy idő után az A rész elmozgatottja már majdnem független lesz a B résztől, tehát a sokadik elforgatott B-vel való metszetének súlya már nagyon közel kerül A és B súlyának szorzatához. Ez azt jelenti, hogy teljesen összekeverjük a teret, hiszen egy idő után már semmi információnk nem származik az A elforgatottjáról való tudásunkból.
8. A Káosz II. avagy valami azért összekeveredik.
Az összekeveredés egyik legnagyobb akadálya az, hogy van egy rész, aminek a súlya nem a teljes, de azért nem is üres és onnan a pontok nem tudnak kimenni ahogy az idő telik. A fizika dinamikus rendszereiben ez a legalapvetőbb feltétel, hogy ilyesmi nem fog megtörténni, ezt hívják Ergodikus Hipotézisnek, azaz a dinamika ergodicitásának. Egy idegen szó remélhetőleg még nem jelent eltávolodást a vulgárfilozófiától.
9. Az igazi Káosz.
Az élet túlságosan egyszerű lenne, ha a minden vagy a valami lenne a jó Káosz, az igazi Káosz. Kiderült, hogy az igazi Káosz a minden és a már nem semmi között helyezkedik el. A dolgok összekeverednek, de nem egészen, csak nagy vonalakban.
Ez azt jelenti, hogyha a Káosz I. A halmazát elkezdjük forgatni, akkor nem feltétlenül lesz igaz, hogy az elforgatott halmaz egyre inkább független lesz attól, amelyik a fenekén marad, de átlagban azért így lesz. Tehát ha A-t mondjuk egymilliószor forgatjuk el és minden egyes forgatás után megnézzük az elforgatott rész és a B halmaz metszetének súlyát, majd az egymillió adatot kiátlagoljuk, akkor az már nagyon közel lesz az A és B halmaz súlyának a szorzatához.
10. A Rend.
A rend a Számokhoz kötődik. Az egész számokat össze lehet adni, az összeadás sorrendje nem számít, ha három számot összeadunk nem érdekes hol helyezzük el a zárójeleket. Van a Semmi, a Zéró, akit bárkihez hozzáadhatunk, semmi sem történik, és minden egyes számnak van egy ellenpárja, akihez hozzáadva megkapjuk a Semmit. Ez az igazi Rend, a számok rendje, ezért mindent Rendnek nevezünk, ami a Számokhoz hasonlít, Összeadhatunk, az Összeadás felcserélhető a Zárójeleket elfelejthetjük, van Zérónk és Ellenpárjaink.
A Számok lehetnének Tér. Az Idő az lenne, hogy egyet hozzáadunk minden számhoz, és kellene egy Súly, egy Véletlen, amit az Összes Számok részeit mérné. Az Emberiség hozott egy döntést a huszadik század elején, egy döntést a választás szabadságáról, amely döntésnek következménye az, hogy ez a Súly létezik, de ez erősen feszegeti a vulgárfilozófia határait. Ezért térjünk vissza inkább a kisiskolás éveinkhez.
11. Az Egyoldalúan Végtelenül Hosszú Számok.
Az Egyoldalúan Végtelenül Hosszú Számok alapvetően vulgárfilozófiai jellegűek. Egy egyoldalúan végtelenül hosszú szám így néz ki:
....6583480001223. A hagyományos természetes számaink baloldalán egy idő után nullák vannak. A három az a ......000000003.
Olyanok ezek, mint egy kutyaközönséges számok. Két ilyen egyoldalúan végtelenül hosszú számot pedig úgy adunk össze, ahogy azt kisiskolában tanultuk. Ha valaki meg akarja érteni mi ez, adja össze a ..9999999999 (végtelen sok kilences) és a ...00001 nevű számot. Ha pont a nullát kapja, akkor megértette. Az Egyoldalúan Végtelen Hosszú Számok pontosan olyan szépen adódnak össze, mint a kisiskolás számok.
Ha az Egyoldalúan Végtelen Hosszú Számok a Tér, akkor az Idő múlása az, hogy mindig 1-et adunk a számokhoz. A Súlyra úgy kell gondolni, hogy a hétre végződő számok súlya egytized, a harminckettőre végződő számok súlya egyszázad, a százharmincnyolcra végződő számok súlya egyezred. Nem nehéz látni, hogy egy rész súlya nem változik, ha hozzáadunk egyet.
12. A Kétoldalúan Végtelenül Hosszú Számok.
A Kétoldalúan Végtelenül Hosszú Számok pontosan úgy néznek ki, ahogy az ember várná.
....343564656564311208...................
Mindkét oldalon végtelen sok számjegy lehet. Két ilyen számot sajnos nem lehet összeadni. Ezek nem alkotnak Rendet. Azonban van egy jó hír. Térnek azért megfelelnek. Az Idő múlása azt jelenti, hogy a számot eggyel eltolom balra. A Súly könnyen értelmezhető. Azon számok súlya, amelynek a közepén pont 4 van egytized. Azon számok súlya, amelynek a közepén 4 van, tőle balra 7, tőle jobbra 9, az pont egyezred. A Súly megmarad az Idő múlásával, és ez a Rendszer a lehető legkaotikusabb, valójában még a hetedik pontban leírtnál is kaotikusabb.
13. És mégis forog...
A Kör nem tűnik rendnek, de valójában az. A kör pontjai szögekként értelmezhetők és a szögek összege pontosan úgy viselkedik, mint a Számok összege. A száznyolcvan fok nevű szögnek van egy olyan furcsa tulajdonsága, hogy ő maga nem a Zéró, de ha hozzáadjuk sajátmagához már a Zérót kapjuk, ilyet a számok nem tudnak, de ez legyen a Számok problémája. A Kör a Rendet jelenti, egy Lehetséges Számrendet.
14. Az Absztrakció fogalma.
Mit jelent az absztrahálás? Van egy bonyolult fogalmi rendszerünk és konzisztens módon próbáljuk egyszerűsíteni. Foltokat látunk, és bizonyos foltokról azt mondjuk, hogy emberalakúak, bizonyosokról azt, hogy macskaalakúak. Szavak közös jelentését próbáljuk megtalálni. A Káosz és a Rend Nagy Elméletének kulcsa az absztrahálás, az absztrakció.
Ismerjük az Első Teret, az Első Időt, az Első Súlyt. Ennek absztrakciója egy Második Tér, egy Második Idő, és egy Második Súly. Úgy gondolunk a Második Rendszerről, mint az Első Rendszer leegyszerűsítéséről, lényegének megértéséről. Mit is jelent tehát az absztrakció?
Az Első Tér a bonyulult, a Második Tér az egyszerű, a lényegretörőbb. Az absztrakció azt jelenti, hogy az Első Tér minden egyes pontjához hozzárendeljük a Második Tér egy pontját. Az Első Dinamikát akkor absztrahálja a Második Dinamika, ha megérti annak lényegét. Tehát:
1. Ha az Első Tér egy X pontjának vesszük az Y hozzárendeltjét a Második Térben, akkor az X pont egy másodperc múlva elért pontjának hozzárendeltje az pontosan az a pont, ahová az Y pont egy másodperc múlva kerül. Tehát a hozzárendelés absztrahálja a Teret és az Időt.
2. Ha a Második Tér egy A részének súlya pontosan annyi, mint azon Első Tér-beli pontok súlya, akik pontosan az A-beli ponthoz lesznek hozzárendelve. Tehát a hozzárendelés absztrahálja a Véletlent.
15. A Káosz és a Rend törvénye.
Egy Számrend, mint az Egyoldalúan Végtelenül Hosszú Számok vagy a Kör sohasem lehet kaotikus az igazi értelemben, de mindig kaotikus a nyolcadik pontunk értelmében. A Káosz és a Rend törvénye azonban ennél sokkal többet mond ki.
"Egy Térből, Időből és Véletlenből álló rendszer pontosan akkor jelent Igazi Káoszt, ha nem absztrahálható belőle Rend."
(a triviális Rend egyetlen pontból áll, ami az Idő múlásával nem mozdul, azt persze mindenből lehet absztrahálni, ezt igazából kizárjuk. valójában azt is feltételeznünk kell, hogy a rendszer, amiről beszélünk a nyolcadik, nagyon gyenge értelemben azért kaotikus, tehát teljesül az ergodikus hipotézis. )
16. Jin és Jang.
A Káosz és Rend metaforát az Abel-díjas Szemerédi Endre híres tételével szokták kapcsolatba hozni. Káosz és Rend, Véletlenszerűség és Struktúráltság. Ez a Jin, a diszkrét Káosz és Rend. A fentiek pedig a Jangot jelentik a folytonos Káoszt és Rendet, amit a tegnaptól Abel-díjas Hillel Furstenberg tételével illusztrálhatunk.
Gowers írt a matematika két kultúrájáról C.P. Snow híres esszéjét parafrazeálva. Szemerédi az egyik kultúrához tartozik, Furstenberg a másikhoz. A Világ Egységét az szimbolizálja, hogy Szemerédi és Furstenberg tétele egy és ugyanaz.
....................................................................................................
Utószó. A Káosz és a Rend törvénye Neumann Jánostól (és talán Bernard Koopmantól) származik. Furstenberg elmélete ennek a törvény pontosabb megértését jelenti.
