– A matematikát tartjuk a legegzaktabb tudománynak. Rengeteg törvényszerűsége van, ám az 1930-as években egy osztrák matematikus, Kurt Gödel kitalált egy olyan formulát, amely csak akkor igaz, ha nem bizonyítható. A részletekbe nem megyek bele, a lényeg az, hogy még a matematika sem teljesen egzakt. (Kásler miniszter interjúja)
Részlet a Wikipedia Kurt Gödel szócikkéből(köszönjük kommentelőnknek!)
...Gödel megadott egy formulát, ami pontosan akkor igaz, ha nem bizonyítható.
Ez az ember felel az oktatásért....
...................................................................................................................................................................
Gödel az igazság fogalmának komplikált voltára hívta fel a figyelmet a tételeivel. Egy háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez igaz. Egy egyenessel egy ponton keresztül csak egy párhuzamos húzható. Ez az állítás igaz az euklideszi geometriában. A két állítás nem ugyanúgy "igaz". A második állítás nem igaz a hiperbolikus geometriában. Az állításokat axiómarendszerekben képzeljük el. Vannak olyan igazságok, amelyek abszolútak, tehát az axiómarendszer minden egyes modelljében teljesülnek. Ezek az igazságok Gödel teljességi tétele értelmében bebizonyíthatók az axiómákat használva. Vannak relatív igazságok, amelyek bizonyos modellekben teljesülnek, bizonyos modellekben nem. Gödel nem-teljességi tétele szerint minden elég nagy és elég csinos ellentmondásmentes axiómarendszerben vannak ilyen állítások. Ez nem interpretálható úgy, hogy van egy állítás, ami akkor igaz, ha nem bizonyítható.
.............................................................................
Személyesebb rész következik. Van egy gondolatmenet, amely hibásan ugyan, de valóban interpretálható a fenti módon. Az axiómarendszer legyen az aritmetika, a Peano axiómarendszer. Ezt PA-val jelölik. Egy csomó formula, meg lehet nézni mindenhol. Ez nagy (per definitionem) és csinos. Tehát van benne olyan állítás, ami nem bizonyítható és nem cáfolható. Gyerekkoromban a kedvenc ilyen állításom a Herkules és a Hidra történetének igazsága volt. Valójában azonban a Con(PA) nevű állítás a legegyszerűbb. Ami a PA ellentmondásmentességét, konzisztenciáját jelenti. Tehát, ha PA konzisztens, akkor Con(PA) "igaz". De csak a második, relatív értelemben. NemCon(PA) is "igaz", tehát a PA+Nem(Con(PA)) (egyszerűen hozzávesszük a PA ellentmondásmentességét tagadó formulát az aritmetikához) sem ellentmondásmentes, ergo, a teljességi tétel miatt van modellje. Igen, ha a természetes számok axiómarendszere ellentmondásmentes, akkor az az axiómarendszer is ellentmondásmentes, amely a természetes számok axiómáiból és a természetes számok ellenmondásmentességének tagadasából áll. És igen, van neki egy modellje, és abban a modellben a NemCon(PA) nevű állításnak van egy ún. Gödel-száma, ami a bizonyítást tanúsítja. Amikor ebbe bele akartam bolondulni, az iskolában úgy magyarázták el ezt nekem, hogy nyugodjak meg, van egy omega-konzisztencia nevű mentőfogalom. És az már nem igaz, hogy a PA+Nem(Con(PA)) omega-konzisztens lenne. Én ezt úgy interpretáltam magamban anno, hogy amikor Nem(Con(PA)) igaz egy modellben, a természetes számok nagyon nem sztenderdek abban a modellben, a Nem(Con(PA)) Gödel-száma nagyon nem a 3452, nagyon-nagyon naív módon úgy képzeltem el, hogy "kivülről" nézvést azok a bizonyítások végtelenek. Így valahogy túl tudtam tenni magam az egészen. Azt gondoltam, hogy sohasem fogok halmazelméleti-logikai eszközöket használni az életemben, aztán egyszer csak beütött az ultraszorzat, de az már egy másik történet.
