A matematika történetének talán leghíresebb előadását David Hilbert tartotta 1900-ban a párizsi matematikai világkongresszus megkezdése előtt, az általa fontosnak tartott matematikai problémákról. Ötvennégy évvel később az amszterdami matematikai világkongresszus szervezői Neumann Jánost kérték fel, hogy beszéljen a számára legfontosabb matematikai kérdésekről. Neumannál egy évvel később rákot diagnosztizáltak, majd 1957-ben, alig ötvenhárom évesen elhunyt.
Neumann János, John von Neumann, minden bizonnyal a legnagyobb hatású magyar tudós volt. Gondolom, az első számítógép megtervezéséről vagy a játékelmélet megalapozásáról mindenki tud. De jelentős szerepe volt a halmazelmélet axiomatizálásában, a kvantummechanika matematikai megalapozásában, a modern numerikus analízis elemeinek kidolgozásában is.
Neumann Jánosról mindazonáltal tudni lehetett, hogy mit tartott élete legfontosabb teljesítményének, de ez az 1954-es beszéd kétséget sem hagy afelől, hogyan gondolkozott Neumann magáról, a matematikáról, a világról.
Nem lehet a vincentblogon ismeretterjesztő posztot írni erről, én erre nem is vagyok képes. Ez a poszt a Nagy Történetről szól. A Nagy Történet pedig nem mindig az, amit nagy történetnek szeretnénk gondolni, hanem az, ami nagy történetnek alakul. Neumann tarthatott volna egy előadást a játékelméletről, a számítógépekről, az agyról, valamiről, amihez viszonyulhat bárki, de ő azokról az algebrákról beszélt, amelyeket most von Neumann algebráknak neveznek (akkoriban W*-algebra volt a nevük) és amelyekhez nem nagyon lehet viszonyulni.
1936-ban Neumann konstruált valami rettenetesen furcsát, amiről egyébként két könyvet is írt (tanítványa Israel Halperin szerkesztette őket Neumann halála után). Ezekről a valamikről még annál is sokkal kevesebben tudnak, mint a von Neumann algebrákról, ezek a dolgok nem kerültek be a matematikai mainstreambe, vagy talán úgy fogalmaznék, hogy nem egészen annyira és nem egészen úgy, ahogy ezt Neumann gondolta. Van valami szomorú ebben, ugyanakkor van valami természetes is. A világ olyan, amilyen, és úgy fejlődik, ahogy neki tetszik, és ki tudja, pár évtized múlva talán a centrumba kerül Neumann folytonos geometriája.
Ez az egyetlen olyan konstrukció, amelyet valóban leírok ebben a posztban. Vegye a kedves Olvasó a kétszer kettes mátrixokat. Azon test felett, ami éppen konveniál. Ezeken a mátrixokon van ugye egy rangfüggvény, ami 0,1 illetve 2 értéket vesz fel. Normalizáljuk le úgy, hogy a rang 0, 1/2 vagy 1 legyen. Ezek után képezzük bele a kétszer kettes mátrixokat diagonálisan a négyszer négyes mátrixok közé, tehát minden mátrix képe önmaga két darab példányban az átló körül. A négyszer négyes mátrixokon is adott persze egy normalizált rang, ami 0, 1/4, 1/2, 3/4 és 1 értéket vehet fel. A kétszer kettes mátrixok képének rangja ugyanaz, mint az eredeti. Ez egy egyszerű észrevétel. Ezek után Neumann beleképezte a négyszer négyes mátrixokat a nyolcszor nyolcasokba, azokat a tizenhatszor tizenhatosokba és így tovább. Így tehát kapott egy mátrixgyűrűt, amelyben ott voltak a kettőhatvány méretű mátrixok, és volt rajtuk egy rangfüggvény, ami 0 és 1 között mindenféle diadikus racionális értéket felvehetett.
Neumann azt vette észre, hogy rang(A-B) egy távolságfogalmat definiál ezen a gyűrűn. Erre nézve a mátrixműveletek folytonosak. Így ezt teljessé tudta tenni, és így kapott egy olyan egyszerű teljes gyűrűt, amin a rangfüggvény minden értéket felvehetett. A gyűrű projekciói alkották a folytonos geometriát.
Neumann 1936 és 1943 között írta meg Magnum Opus-át az On Rings of Operators-t, amely négy részben jelent meg, és ebből háromban Francis Murray volt a társszerzője. Az operátorkalkulust akkor már elég jól kidolgozták, elsősorban azért, mert alapvető jelentősége volt a kvantummechanika matematikai formalizálásában. Neumann bizonyos értelemben a folytonos geometriákra építve dolgozta ki az operátoralgebrák elméletét.
Ezek az algebrák a Hilbert-terek feletti folytonos operátorok algebrájának bizonyos részalgebrái voltak. (Egy intervallumon az összes korlátos mérhető függvény ilyen, de ha az ember vesz egy diszkrét csoportot és annak a saját Hilbert-terén hat velük, akkor a hatással felcserélhető operátorok is ilyen algebrát alkotnak)
Ezek közül az egyszerű szerkezetűeket (amelyekben csak az identitás többszörösei voltak felcserélhetőek a többi elemmel), faktoroknak nevezte el. Ezekről úgy gondolkozott, mint valamiféle atomokról, amelyekből az összes algebra felépül (ez így is van, ezt ő bizonyította be a világháború után). Az egyik ilyen faktorosztály, ami Neumannt különösen érdekelte a Type II-1 típusú faktorok osztálya volt. Murray és Neumann két ilyen faktort konstruált összesen, az egyik gyakorlatilag az operátoralgebrai verziója volt a fenti mátrixos konstrukciónak. A másik a szabadcsoporthoz kötődött úgy, ahogy ez előző bekezdésben leírtam. Pontosan tudta tehát, hogyan lehet rengetegféle faktort konstruálni, azt nem tudta bizonyítani, hogy ezek különböznek egymástól.
Neumann ezeknek a faktoroknak a megértését tartotta a legnagyobb feladatnak, és úgy gondolta, hogy a kvantummechanikát ezekre kell alapozni. Nagyjából erről beszélt a kongresszuson.
A kvantummechanikában lett ugyan valamekkora szerepe a Type II-1 faktoroknak, de közel sem akkora, mint azt Neumann szerette volna. Neumann János ennek tudatában volt, és a dolog nagyon bántotta.
1969-ben egy huszonnégy éves Ph.D diáklány nemhogy végtelen, de kontinuum sok Type II-1 faktort konstruált (később világhírű geométer lett belőle, Dusa McDuffnak hívják). Két Fields-érmet is adtak a témakörben, egyet Alain Connes-nak, egyet pedig Vaughan Jones-nak.
Connes valamikor a hetvenes évek közepén vetette fel, hogy Neumann összes faktora (már amelyek nem túl nagyok) egy bizonyos nagyon furcsa, halmazelméleti módszerekkel konstruált faktorban van benne. Ezt azóta sem tudták megoldani vagy megcáfolni. Nemrég azonban kiderült valami furcsaság. Volt egy tétel a kvantummechanika-kvantuminformációelmélet környékén, amit valamikor Tsirelson-tételnek neveztek. Aztán csak Tsirelson-sejtésnek, mert kiderült, hogy a bizonyításban volt egy sajnálatos hiba. Matematikai fizikusok észrevették, hogy a Tsirelson-sejtés ekvivalens a Connes-féle beágyazási kérdéssel. Ami úgy is felfogható, hogy ez az egész a valódi világban is értelmezhető, persze valamiféle enyhén perverz módon.
Szóval ennyi. Egy poszt a teljesen értelmezhetetlen világról, amelyről nem lehet előadásokat tartani mozgalmároknak, nem lesz belőle napihír, beszédtéma, internetes mém. De mégiscsak a legnagyobb magyar tudós álma volt, és ha Kövér Lászlóról lehet posztot írni, akkor erről is.
