Neumann János/John von Neumann 1929-ben, huszonhat éves korában írta meg Zur allgemeinen Theorie des Maßes című cikkét. Számomra ez von Neumann legizgalmasabb munkája. Ebben definiálta az amenábilis csoportokat.
1924-ben jelent meg Stefan Banach és Alfred Tarski híres cikke, amelyben bebizonyították, hogy egy gömb felbontható véges sok darabra úgy, hogy ezen darabokból két az eredetivel azonos méretű gömböt lehet összerakni. A gömb térfogata tehát nem invariáns az átdarabolásokra nézve. Ezek a darabolások természetesen nem konstruálhatók meg, közönséges darabolásokkal nem lehet növelni a térfogatot, de amennyiben elfogadjuk a halmazelmélet kiválasztási axiómáját, akkor el kell fogadnunk ezen feldarabolások létezését. Ugyanakkor a körlap nem darabolható fel véges sok darabra úgy, hogy ezen darabokból két az eredetivel azonos méretű körlapot lehessen összerakni.
A különös jelenség mögött az áll, hogy a sík mozgáscsoportja amenábilis, a tér mozgáscsoportja pedig nem-amenábilis, de ezt Banach és Tarski legfeljebb csak érezhette 1924-ben.
Von Neumann a Ring of Operators című munkáját tartotta a legtöbbre az életében, ez egy négy részes cikk volt, amelyben leírta az operátoralgebrák elméletét, mely algebrákat ma von Neumann algebráknak neveznek. Szomorú aktualitása van ennek, a leghíresebb von Neumann algebra-kutató, Vaughan Jones, szeptember hatodikán halt meg.
Von Neumann észrevette, hogy ezen operátoralgebráknak vannak bizonyos építőkockái, a faktorok. Ő tulajdonképpen csak két végtelen dimenziós faktort tudott akkor még elkülöníteni, évekbe tellett, amíg hatalmas családjait konstruáltak ezeknek az objektumoknak. A legkisebb végtelen dimenziós faktor, von Neumann nagy találmánya, a hipervéges faktor volt.
A faktorok legegyszerűbb konstrukciója csoportokra épül és von Neumann észrevette azt, hogy pontosan akkor kapja meg az ember az ő kedves hipervéges faktorát, ha amenábilis csoportból indul ki.
Később kiderült, hogy a faktorok között is lehetnek amenábilisak, ennek van értelme, és Alain Connes számára Fields medált ért az a bizonyítás, hogy az amenabilitás és a hipervégesség fogalma megegyezik a faktorok esetében.
von Neumann másik híres faktorkonstrukciója csoportok mérték(térfogat)tartó hatását használta (a forgatás megőrzi a térfogatot, a nyújtás nem, ennél többet most inkább nem mondhatok). Ezen hatásokhoz gráfokat lehet rendelni, de ezek a gráfok nem végesek, hanem valamilyen értelemben "folytonosak". Connes, Feldman és Weiss 1981-ben bizonyította be, hogy ezek a furcsa gráfok, természetes értelemben, pontosan akkor amenábilisak, ha hipervégesek. Nem, ezt meg sem próbálom elmagyarázni.
Amikor ezeket a különös gráfokat nézegeti az ember, egyébként Borel gráfoknak hívják őket, elfeledkezhet az ember a hatásról, csak és kizárólag a gráfra koncentrálhat. Ekkor is definiálhat egy amenabilitás és egy hipervéges fogalmat. Jackson, Kechris és Louveau majd húsz éve fogalmazta meg híres sejtését, miszerint már a Borel gráfokra is igaz az, hogy az amenabilitás és a hipervégesség fogalma egybe esik.
Ha egy ilyen Borel gráfot amenábilis csoport segítségével konstruálnak meg, akkor amenábilis lesz. És sajnos pont azt nem tudják, hogy az amenabilitásból következik a hipervégesség, csak a másik irány könnyű. Azt már elég régen tudják, hogy ha az az amenábilis csoport az egész számok csoportja, akkor a gráf hipervéges lesz. Amikor a csoport még elég kicsi, hasonlít az egész számokra, akkor nagyon nagy munkával ki lehet szasszerolni a hipervégességet, de ha a növekedése exponenciális, mint a koronavírusnak rosszabb pillanataiban, akkor semmit sem lehetett mondani. Egészen a mai napig.
Ma kiderült, hogy poly-ciklikus csoportokra a sejtés igaz. Azok pedig tudnak exponenciális növekedésűek lenni. A bizonyítás arra alapszik, hogy ezen csoportok valamilyen értelemben véges dimenziósak. Ez egy nagyon komoly áttörés a matematika ezen területén.
Az Olvasó most azt gondolja, hogy ugyan mennyivel lett beljebb ettől az emberiség. Erre persze nem tudom a választ. Von Neumann egészen biztosan a kvantuummezőelméletet emlegetné, ahol van jelentősége a hipervégességnek.
Tavaly decemberben ugyanitt ültem a gép előtt, és észrevettem egy cikket, amelyben olyasmiről volt szó, amitől talán beljebb lesz az emberiség. Vannak nagyon fontos hálózati algoritmusok, amelyek a mai tudásunk szerint nagyon sokáig futnak. A hálózat méretétől függően exponenciális időben. Persze elképzelhető, hogy gyorsabban, de erre nem nagyon vár senki. Azt vették észre, hogy bizonyos esetben ezek az algoritmusok polinomális idő alatt már elég jó közelítő megoldást tudnak szolgáltatni. Abban a cikkben, amit decemberben találtam, azt írták le, hogy bizonyos hálózatokon, valóban léteznek ilyen közelítő algoritmusok. Ennek pedig az az oka, hogy azok a hálózatok a megfelelő értelemben hipervégesek. Nem volt rossz ötlet megnézni azt a cikket, ezt csak úgy magam számára teszem hozzá.
A lényeg az, hogy ma egy kicsit többet tudunk a világról, von Neumann örökségéről, és ez szerintem már önmagában is jó dolog.
