Nem láttam a magyar lapokban. John F. Nash és Louis Nirenberg kapta az idei Abel-díjat. Nash-t játszotta Russel Crowe a Beautiful Mind-ban. Nash korábban a közgazdaságtudományi Nobel-díjat is megkapta játékelméleti munkásságáért (amiről ezt érdemes elolvasni).
Arra gondoltam, hogy írok pár sort arról, hogy mi köze van Nash-nek Bolyai Jánoshoz, már azon túl, hogy mindkettőjüknek nagyon komoly pszichés problémái voltak életük egy részében.
Bolyai (+Gauss + Lobacsevszkij) vezette be a hiperbolikus geometriát a matematikába, tökéletesen tudtak számolni a hiperbolikus síkon, de nem tudták belátni azt, hogy a hiperbolikus geometria valóban "létezik".
Ha van egy felületünk egy térben, mint például a gömbfelület a háromdimenziós térben, akkor bármely ívnek ki tudjuk számolni a hosszát. Ezzel van megadva tulajdonképpen a felület geometriája, ez után beszélhetünk a tér görbületéről.
Teljesen absztrakt módon is létrehozhatunk azonban geometriai rendszert egy felületen. Vegyük mondjuk a síkot és adjunk meg rajta egy differenciálható függvényt, aminek az értékkészlete kétszer kettes szimmetrikus mátrixokból áll, olyanokból, amelynek a sajátértékei pozitívak. Mit jelent ez? Minden egyes pontban a vektoroknak van egy régi hossza, a klasszikus síkbeli hossza és van egy új hossza, ami az x pontban a v(x) vektorra A(x)v(x).v(x) négyzetgyöke, ahol A(x) a mátrix értékű függvény értéke és a pont a formulában a skalárszorzatot jelenti. Azért volt szükség a sajátértékek pozitivitására, hogy a vektorok hossza mindig pozitív legyen. Ezzel a módszerrel meggörbítjük az eredeti teret. Ha egy autó a síkon halad, akkor a régi rendszerben is van egy sebessége, és az új rendszerben is, tehát kiszámolható két pont között az új legrövidebb út, ami nem feltétlenül egy egyenes szakasz.
A hiperbolikus geometriát amúgy egy nagyon egyszerű mátrixfüggvény írja le.
Ezt a trükköt akárhány dimenziós térben el lehet végezni (sőt, nem kell feltétlenül euklideszi terekből kiindulni) és különböző görbült tereket lehet képezni teljesen absztrakt módon. Riemann geometriának hívják.
Nash (lényegében) azt bizonyította be, hogy minden absztrakt módon definiált tér, konkrétan is realizálható egy magasabb dimenziós térben. Azaz belehajlítható egy euklideszi térbe (általában sokkal magasabb dimenziós térbe) egy felület úgy, hogy a magasabb dimenziós térből örökölt geometria az pontosan az absztrakt módon definiált geometriával legyen egyenlő. Azaz, az absztrakt hosszak pontosan a behajlításból eredő hosszakkal egyezzenek meg.
Életemben egyszer találkoztam Nash-hel, egy konferencia szünetében, majdnem két egész másodpercig beszélgettünk (tájékoztattam a mellékhelyiség pontos helyéről), pontosan ugyanilyen mélységű a kapcsolatom Orbán Viktorral, akivel az Uránia mozi előtt találkoztam sok évvel ezelőtt. Most inkább Nash-ről írok posztot, és nem az Orbánról.
