Történelmi időket élünk. A kormányzati tájékoztató előadáson Röst Gergely egyik slide-ján 1:22:05-kor a "végtelen dimenziós operátorok spektrálsugara" kifejezés szerepel.
Mivel ez politikai szakkérdéssé vált, az Örülünkvincent blog kötelességének érzi, hogy tájékoztassa a közvéleményt a végtelen dimenziós operátorok spektrálsugaráról.
Először is, mi az a végtelen dimenziós operátor. Ebben az esetben komplex Banach-terek korlátos operátorairól van szó. A korlátos operátor, kicsit hasonlít Dr. Müller Cecíliára, aki korábban körzeti orvosként rendelt, ugyanis a korlátos operátor a Banach-tér egy vektorához egy másik vektort rendel, x-szer hosszabb vektorhoz x-szer hosszabb vektort, és két vektor összegéhez a két vektorhoz rendelt vektorok összegét rendeli. Továbbá, létezik egy olyan c szám, hogy egy t hosszúságú vektorhoz legfeljebb ct hosszúságú vektort rendel. A legkisebb ilyen c-t nevezik a T operátor \( \|T \| \) normájának.
Az iskolában spektrum alatt a sajátértékek halmazát szoktuk érteni, gondolom Orbán Viktornak is ez ugrott be először, ez sajnos nem ilyen egyszerű korlátos operátorokra. Hiszen például az identitásfüggvénnyel való szorzásnak egyáltalán nincs sajátértéke a \( [0,1] \) intervallumon vett folytonos függvények Banach-terében. Ezért egy T korlátos operátor esetében azt mondjuk, hogy a \( \lambda \) komplex szám benne van a spektrumban, ha a \( T-\lambda \) operátornak nincs korlátos inverze. A T spektrálsugara r, ha az a legkisebb nulla körüli körlap, ami tartalmazza a spektrumot, pontosan r sugarú.
Pontosan tudom, hogy Olvasóink egy részében fel fog merülni, hogy mi van akkor, ha a T korlátos operátos spektruma, mondjuk Soros Györgynek köszönhetően, üres. Ez nem fordulhat elő a Nemzeti Együttműködés Rendszerében. Ugyanis, ha ez így lenne, akkor a Hahn-Banach tétel segítségével tudnánk konstruálni egy korlátos nem-konstans holomorf függvényt a komplex síkon, és ilyen állat, szemben pl. a zsiráffal, a Liouville-tétel miatt nincs.
A nagyon szép operátorok, mint például a fizikában gyakran fellépő önadjungált operátorok esetében, a spektrálsugár pontosan a norma, sajnos általában kisebb a normánál. Igaz azonban a következő hazafiasan nemzeti jellegű formula:
A T operátor spektrálsugara = \( \lim_{n\to \infty} ( \| T^n \| ^{\frac{1}{n}} ) \) .
Nem gondoltam volna, hogy a magyar történelemben lesz olyan pont, hogy miniszterek és parlamenti képviselők, talán maga Orbán Viktor, szembesülnek végtelen dimenziós operátorok spektrálsugarával. Az esti híradóban nyilván ifj. Lomnici vagy az egyik megadja fogja elmagyarázni a spektrálsugarat, ezért gondoltam, hogy proaktív lépéseket teszek.
UPDATE: Megnéztem az irodalmat, hogy tényleg használnak-e végtelen dimenziós operátorokat az epidemiológiában. Igen, vannak ilyen végtelen populációs struktúrák (Horst Thieme találta ki, akivel együtt dolgozott a Röst Gergely) , de amennyire látom azok az operátorok nem feltétlenül korlátosak. Zárt, sűrűn definiált operátorok, de van egy ún. rezolvens pozitivitásuk, ami miatt azért a spektrálsugár értelmesen definiálható.
MÉGUPDATEBB: "The aim of this project is to develop and analyse infinite dimensional dynamical models for the transmission dynamics and propagation of infectious diseases. " (Röst Gergely ERC Starting Grant győztes pályázatából). Szóval ez rohadtul komoly. Arról van szó, hogy a klasszikus modellekben a fázistér, amin a dinamikát nézik véges dimenziós, de ha retardált (ez van, ez a neve) differenciálegyenletrendszerekről van szó, akkor a fázistér végtelen dimenziós is lehet.
