Én tudom, hogy a skálafüggetlenség nem tartozik a fontos közéleti tematikák közé, de azt meg ti nem tudjátok, hogy engem néha mennyire nem érdekelnek a fontos közéleti tematikák.
Azt írja az indexen Stöcker Gábor, hogy
"Két magyar matematikus, Erdős Pál és Rényi Alfréd kutatásai nyomán a tudósok évtizedekig úgy gondolták, hogy a hálózatok – akár társadalmi hálók, akár a sejtek kémiai anyagai – véletlenszerűen rendeződnek el. Többek között Barabási érdeme, hogy a kilencvenes évek végén felfedezték: a hálózatok többsége nem véletlenszerű, nagyon bonyolult matematikai összefüggések felfedezhetők bennük. "
http://index.hu/tudomany/2011/02/08/a_halozatkutatastol_a_grafenekig/
Ezt nem a kisujjából szopta: maga Barabási Albert László is szokott hasonlókat mondani. És nem kéne.
Nyíri Kristóf filozófus-akadémikus egyik roppant fontos cikkében is valami hasonlót ír (azért ironizálok, mert Nyíri a mérnöki pontosságú hard-science filozófia képviselőjének nevezi magát a Heller-ügyben elkövetett nyilatkozataiban).
www.hunfi.hu/nyiri/Nyiri_Networked_Mind_London_2005.pdf
"The network of ideas is not a random one. In a random network most nodes would
have roughly the same number of links, and no node would have a very large number of
them, so that the distribution of links would follow a bell curve. By contrast, networks of
ideas typically consist of a great number of nodes with just a few links, and a small
number of hubs with very many links; that is, they are, to employ Albert-László
Barabási’s term, “scale-free”. Many fundamental networks in nature and society are
scale-free (but it is not yet clear if the neurons of the human brain form such a network).
What Barabási has shown in particular is that the internet is a scale-free network,
following a so-called a power-law distribution, with most nodes having only a few links,
and over-all connectedness being ensured by a few hubs having very many links. A
random network is similar, say, to the U.S. national highway system. A scale-free
network, by contrast, resembles the flow of air-traffic, where a large number of small
airports are connected to each other via a few major hubs."
Talán ez a bekezdés sem tartja meg a kívánt távolságot a bullshittől.
1. Erdős Pál és Rényi Alfréd nem foglalkozott azzal a kérdéssel, hogyan is néznek ki a valódi hálózatok. Ők azért foglalkoztak véletlen gráfokkal, mert azokat szép és érdekes dolgoknak tartották.
2. Mit jelent a véletlen gráf fogalma? Az ember fixál egy c értéket, majd elkezd véletlenül gráfokat konstruálni n csúcson a következő módon. Sorba veszi az összes pontpárt, és ezeket c/n valószínűséggel behúzza. Így kap egy gráfot. Ez a gráf természetesen akármelyik gráf lehet az n csúcson, bármely gráf előfordulásának a valószínűsége pozitív. Azt azonban tudjuk, hogy nagyon kicsi az esélye annak, hogy az így kapott gráfban az átlagos fokszám lényegesen eltérjen c-től. Nyíri szerint tipikusan nem fog előfordulni, hogy lesz nagyfokú csúcs. Ez a nagy fogalmának értelmezésétől függ. Durván log n lesz a legnagyobb csúcs fokszáma. A véletlen gráfokról szóló kérdések azt jelentik, hogy milyen is lesz egy ilyen gráf alakja tipikusan (egyre nagyobb valószínűséggel, ahogy n tart a végtelenhez). Nagyon nem olyan, mint egy úthálózaté. Ha c elég nagy, lesz egy darab nagy komponens, aminek az aránya az n-hez valamiféle pozitív értékhez tart, ahogy n tart a végtelenhez, és az összes többi komponens nagyon kicsi lesz (log n nagyságrendű). Nem lesznek benne háromszögek, négyszögek, általában kicsi körök, ha n már elég nagy. Elképesztően sok dolgot tudnak az ilyen gráfokról, de soha nem gondolták róluk, hogy a valódi hálózatok ilyenek lennének. És ezekben is mocskosul bonyolult matematikai összefüggések fedezhetők fel.
3. Az egyáltalán nem világos, hogy Barabási konkrétan mit is fedezett fel, egyáltalán felfedezett-e bármit: ő leginkább ráirányította a figyelmet valamire (ez azonban ebben az esetben rendkívül jelentős). Ő azt szokta mondani, hogy a valóságos hálózatok szeretnek skálafüggetlenek lenni. Senki sem tudja, hogy pontosan, hogy mit jelent a skálafüggetlenség. Barabási is konstruált egy véletlen gráf fogalmat, a preferential attachment gráfokat, és leginkább arról van szó, hogy ő ezeknek a gráfoknak a tulajdonságait próbálta több-kevesebb sikerrel rávetíteni a valódi hálózatokra.
A preferential attachment gráfokat a következő módon érdemes elképzelni: Kiválasztunk az n pontból kettőt, majd egy harmadikat egyketted valószínűséggel az egyik, egyketted valószínűséggel a másik csúcshoz kötünk. Utána egy újabb, negyedik csúcsot választunk ki, és annak arányában kötjük az egyikhez a kiválasztott három közül, hogy mekkora azok foka. Tehát az elsőnek kiválasztott csúccsal ezt a negyedik csúcsot egyketted valószínűséggel fogjuk összekötni, a másik két csúccsal egynegyed valószínűséggel. Ezek után egy ötödik csúcsot is kiválasztunk, és az eddigiek egyikéhez kötjük a fokszámaikkal arányos valószínűséggel. Ezt folytatva egy fát kapunk az n csúcson. Egyszerre két vagy három csúccsal is összeköthetjük az új csúcsot: akkor más, hasonló modelleket kapunk. Barabási észrevette (számítógépes szimulációval, rigorózus bizonyításai nem nagyon voltak), hogy az így konstruált gráfok sok szempontból különböznek a véletlen gráfoktól (közben sok tekintetben hasonlítanak hozzájuk, de ezeket általában nem hangsúlyozzák). Leginkább abban különböznek, hogy a fokszámok eloszlása nem Poisson-, hanem ún. power law. Tehát a d fokúak aránya kb. konstansszor d a mínusz gammaadikon, ahol gamma a választott modelltől függ (ezt pl. Bollobás, Riordan, Spencer és Tusnády bizonyította be). A legnagyobb csúcsfok tipikusan négyzetgyök n nagyságrendű lesz.
4. Karinthy Frigyes: Láncok című novellájából szokták származtatni a six degrees of separation elvet — azaz hogy két ember a Földön tipikusan hat ismerősön keresztül elérhető. Az igazság az, hogy a politika maga alkalmas arra, hogy a Föld nagy részén megtörténjen valami hasonló, hiszen mindenki ismer egy helyi politikust, minden helyi politikus ismer egy komoly politikust, aki meg vélhetően ismeri az amerikai elnököt, legalábbis egyszer az életében találkozott vele. Ez hat lépésben elvezethet A-tól B-be az amerikai elnökön át. Itt azonban egy mélyebb dologról van szó. A véletlen gráfok nagy komponense és a Barabási-féle gráfok átmérője is durván log n nagyságrendű, tehát bármely csúcsuk bármely csúcsból aránylag rövid úton elérhető.
Ezt írtam ma fontos közéleti tematikák helyett.
