1. Bizonyára sokan hallottak már kedves Olvasóink közül a Banach-Tarski paradoxonról. Valójában egy tételről van szó, ami azt mondja ki, hogy egy egység sugarú gömb felbontható véges sok részre, oly módon, hogy a részekből két darab egység sugarú gömb rakható össze. Hogy a térfogat nő? Azt nem mondta senki, hogy a darabok Lebesgue-mérhetőek :)))
2. Ugyanakkor az egység sugarú körlap nem bontható fel véges sok részre, oly módon, hogy a részekből két darab egység sugarú körlap rakható össze.
3. Mi az a különbség a 2- és a 3-dimenziós tér között, ami miatt a Banach-Tarski felbontás működik a térben, de nem működik a síkon? Már Hausdorff is észrevette, hogy a tér mozgáscsoportja tartalmazza a két elem által generált szabadcsoportot. A sík mozgáscsoportja nem, ugyanis az feloldható.
4. Neumann János volt az első, aki a csoportokat a Banach-Tarski paradoxon szellemében kezdte osztályozni. Észrevette, hogy bizonyos, kellemes szerkezetű csoportok, mint például az egészek csoportja rendelkeznek a következő tulajdonsággal: van rajtuk invariáns "integrál". Azaz, a csoporton értelmezett korlátos függvények terén van egy olyan additív valós függvény, amelyik invariáns az eltolásra ÉS 1 a konstans egy függvényen. Azt is észrevette, hogy a két vagy több elem által generált szabadcsoporton ilyen invariáns függvény nem létezik.
5. Egy Folner nevű dán matematikus a második világháború alatt geometriailag is leírta azokat a csoportokat, amelyeken van invariáns közép, és ezeket később Mahlon Day nyomán amenábilis csoportoknak nevezték el. Egy végesen generált csoport akkor és csak akkor amenábilis, ha a Cayley-gráfjának (a definíció nem függ a generátoroktól) vannak olyan részhalmazai, amelyeknek a szélén egyre kevesebb pont van, mint a belsejében. A síkrácson (az egész számok párjainak Cayley-gráfján) a nagy négyzetek pl. ilyenek.
6. Neumann Jánosnak tulajdonítják (valószínűleg tévesen) azt a kérdést, hogy az amenabilitás vajon ekvivalens-e azzal, hogy a csoport tartalmaz két elem által generált szabad részcsoportot. A válasz mindenesetre nem, Olshanszkij konstruált nem-amenábilis torziócsoportokat.
7. Thompson vagy negyven éve konstruált egy érdekes csoportot. Ez a csoport az egységintervallum szakaszonként lineáris irányítástartó bijekcióiból áll, amelyek függvényeinek töréspontja diadikus és minden iránytangense 2-hatvány.
8. Thompson csoportja egyrészt nem tartalmazott szabad részcsoportot, másrészt nem volt elemi amenábilis sem (azaz nem volt semmiféle egyszerű algebrai oka az amenabilitásának). Ez a csoport sok tekintetben úgy viselkedett, mintha amenábilis lenne, de amenabilitását senki sem tudta bizonyítani.
9. Rengeteg ember próbálta bebizonyítani, hogy a Thompson-csoport nem amenábilis (vagy esetleg mégis igen), de senkinek sem sikerült. Ez a kérdés a geometrikus csoportelmélet nagy és idegesítő kérdésévé nőtte ki magát. Thompson csoportja elkezdett játszani a matematikusokkal. Ha kitaláltak egy olyan új invariánst, amely egy bizonyos t konstanstól kezdve bizonyította egy csoport nem-amenabilitását, biztosak lehettünk benne, hogy a Thompson-csoportra ez az invariáns pontosan t volt.
10. Májusban egy Jevgenyij Tengizovics Shavgulidze nevű moszkvai matematikus feltett az internetre egy bizonyítást, amelyben azt állította, hogy bebizonyította: a Thompson-csoport amenábilis. (Pár hónappal korábban ugyanarra az archívumra egy Akhmedov nevű, Amerikában élő azeri matematikus viszont annak az állítólagos bizonyítását tette fel, hogy a Thompson-csoport nem amenábilis.)
11. Amerikai csoportelmélészek több csoportja próbálja megtalálni a hibát Shavgulidze bizonyításában. A mai napon feltették az első, harminc oldalas elemzésüket a netre. Egyelőre nem találtak hibát.
http://www.math-arch.org/node/216
Ez itt Shavgulidze bizonyítása. Ha jó, akkor a geometriai csoportelmélet elmúlt húsz évének legnagyobb eredménye. Nem, nem kínál megoldást sem a globális felmelegedés leállítására, sem a rák gyógyítására. A világbékét sem hozza el. Egy lépés lenne, fel, valahová, az ismeretlenbe.
