Örülünk, Vincent?

Kazahsztán felett száll a dal...

Troll proximity


Orbanisztán Infochart

P/c szerint a világ

  • Hibás feed URL.

Rovataink

Viccországban Gengszterkrónikák Gasztrowhat Focitörténelem Borzalmasvers Hülyeország Színház A nap idézete Zene-bona


nem felejtünk.jpg

Jobban teljesít...


Orbán Pinocchio thumb.jpg

FRISSÍTVE!

Itt az újabb történelmi csúcs

A központi költségvetés bruttó adóssága: 2010. május: 19.933,4 Mrd Ft; 2011. május: 21.116,5 Mrd Ft; 2012. május: 21.180,9 Mrd Ft; 2013. május: 21.765,4 Mrd Ft; 2014. október 24.736 Mrd Ft;2015. június 6. 24 847 Mrd F

 

Szűjjé má'!
tumblr_nzd85jlxqr1qd6fjmo1_1280.jpg

 

Híres utolsó szavak

 




 

Te már bekövetted?

 

Vincent tumblr Falus.JPG

 


 

Vincenzúra

Troll Vincent.jpg

Figyelem! A Vincent szerzői — főszabályként — maguk moderálják a posztjaikra érkező hozzászólásokat. Panaszaitokkal vagy a mellékhatásokkal a poszt írójához forduljatok!

Köszönettel: Vincent Anomália

Címkék

abszurd (39) áder (5) adózás (11) alkotmány (45) alkotmánybíróság (10) államosítás (7) arcképcsarnok (14) ascher café (24) a létezés magyar minősége (6) bajnai (16) bank (7) bayer (23) bayerzsolt (14) békemenet (7) bkv (7) bloglossza (14) borzalmasvers (156) cigány (7) civilek (5) civil társadalom (8) demokrácia (24) deutsch tamás (6) devizahitelek (9) dogfüggő (10) egyház (10) ellenzék (7) erkölcs (17) érték (19) Érvsebész (11) eu (13) eu elnökség (8) felsőoktatás (15) fidesz (76) fideszdemokrácia (7) film (12) filozófia (13) foci (12) focijós (19) focikvíz (54) focitörténelem (94) fritztamás (6) gasztrowhat (9) gavallérjános (10) gazdaság (8) gengszterkrónikák (14) gyurcsány (27) hangfal (98) heti válasz (19) hétköznapi történetek (32) hétvége (44) hoax (5) hülyék nyelve (16) hülyeország (165) idézet (768) igazságszolgáltatás (6) imf (26) indulatposzt (11) interjú (7) járai (12) jobbik (17) jogállamiság (33) kampány (12) kampányszemle (9) katasztrófa (5) katonalászló (21) kdnp (9) kétharmad (16) költségvetés (21) könyvszemle (9) konzervatív (18) kormányváltás (22) kormányzás (42) kósa (8) kövér (11) kultúra (21) kumin (14) lánczi (5) lázár jános (12) levelező tagozat (12) lmp (8) magánnyugdíj (25) mandiner (15) március 15 (8) matematika (9) matolcsy (44) mdf (5) média (48) melegek (8) mesterházy (7) mnb (5) mosonyigyörgy (7) mszp (32) mta (5) napitahó (7) navracsics (14) nedudgi (15) nekrológ (11) nemigazország (5) nemzeti együttműködés (5) ner (11) nyugdíj (5) oktatás (12) önkormányzatok (6) orbán (46) orbanisztán (15) orbánizmus (101) orbánviktor (65) országgyűlés (6) pártállam (23) politika (14) polt (5) program (9) retró (22) retro (115) rettegünk vincent (14) rogán (9) sajtó (22) sajtószemle (6) schmitt (38) selmeczi (8) semjén (6) simicska (7) sólyom (7) spoof (19) stumpf (5) szász (6) századvég (7) szdsz (9) szijjártó (16) színház (35) szlovákia (5) szszp (5) tarlós (12) társadalom (50) törökgábor modul (8) történelem (5) tudjukkik (22) tudomány (17) tüntetés (17) ügyészség (9) választás (37) vb2010 (19) vendégposzt (68) videó (11) vincent (10) voks10 (7) vörösiszap (16) zene (23) Címkefelhő

Atiyah és a Riemann-hipotézis (szomorúposzt)

2018.09.30. 14:21 | jotunder | 29 komment

      A 444.hu-n most jelent meg egy cikk Atiyahról és a Riemann-hipotézisről.

      Az igazság az, hogy Atiyah korábban is foglalkozott a Riemann-féle zétafüggvénnyel. Írt egy közös cikket a témavezetőmmel, amelyben tulajdonképpen a Riemann-zétáról volt szó, de nem a számokon értelmezett Riemann-zétafüggvényről, hanem Dirac-operátorok sajátértékein értelmezett zétafüggvényekről. 

      Atiyah a kompakt sokaságok elliptikus operátorainak indexének megértéséért (ez az Atiyah-Singer Indextétel) kapta a Fields-medált. Az Index-tétel egy mágikus formula volt. Ha az ember egy középiskolai egyenletrendszert akar megoldani, akkor is lát egy indexet, de az mindig nulla. Egy kompakt sokaság elliptikus differenciáloperátorának az indexe egy egész szám, ami esetleg nem nulla. Atiyah azt bizonyította be, hogy az operátort definiáló geometriai alakzathoz rendelt szám az pont az index. Az egyik oldalon tehát egy analitikus formula áll, ami a differenciáloperátor által leírt parciális differenciálegyenlet megoldhatóságáról mond valamit, a másik oldalon pedig valamilyen kohomológiaosztály integrálja, ami topologikus információt tartalmaz az operátorról és a sokaságról. 

       Van egy nagyon fontos speciális eset, amit Hirzebruch írt le és a Todd-osztályról szól.   

      Az 1976-os cikkben nemkompakt sokaságokról volt szó, ahol az index elvileg végtelen, de Neumann Jánosnak köszönhetően mégis definiálni lehet egy véges számot, és igaz az Index-tétel megfelelője. Később kiderült, hogy itt algebrai topológiai invariánst talált Atiyah. Úgy gondolta, hogy ez a Neumann-féle index mindig egész szám, de ezt a sejtését később megcáfolták. 

      Ha az ember megnézi azokat a különös vázlatokat Atiyahtól, amelyekkel tele van a net, láthatja Dirac, Hirzebruch, von Neumann és Todd nevét. Ennyit akartam elmondani.

  

 

     

A bejegyzés trackback címe:

https://orulunkvincent.blog.hu/api/trackback/id/tr8414272693

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

fortin2 2018.09.30. 16:08:14

Kösz, erre kérdeztem rá az előző posztnál. Arról van esetleg valami, hogy miképpen reagáltak rá, bár még nem a teljes tanulmány jelent meg?

jotunder · http://orulunkvincent.blog.hu 2018.09.30. 16:33:43

@fortin2: erre nem nagyon fog senki reagalni. persze, blogokban irnak ezt-azt, de nem fognak ra reagalni. es ez igy helyes.

ikaruss 2018.09.30. 16:58:34

Csak azt érteném, hogy hogyan kerül a képbe a finomszerkezeti állandó.

ámbátor 2018.09.30. 17:22:21

@jotunder: Ezt úgy kell érteni, hogy továbbra is igaz, hogy a nagy matematikai eredmények harminc éves kor előtt születnek? Mert mondjuk a posztból egy szót se értek. Csak azt, hogy szomorúposzt.

jotunder · http://orulunkvincent.blog.hu 2018.09.30. 19:05:00

@ámbátor: nem, ezt egyaltalan nem kell ugy erteni. babai laszlo elete egyik legnagyobb eredmenyet 65 eves koraban erte el. egy volt egyetemi evfolyamtarsam zhang, elete elso igazi nagy eredmenyet, ami hatalmasat szolt, otvenpareves koraban publikalta. hatvan feletti kiemelkedo eredmeny nagyon sok van.
az teny, hogy scholze a doktorijara kapott (remelem jol tudom) fields ermet.

szazharminchet 2018.09.30. 22:49:55

@ikaruss: Nagyon úgy néz ki, hogy sima számmisztika, gyárt(ana) egy formulát, amit kiértékelve 137,0...-et kapsz.
www.preposterousuniverse.com/blog/2018/09/25/atiyah-and-the-fine-structure-constant/
Atiyah preprintjében nagyon sok olyan matematikai kifejezés van, amit nem értek (szinte csak olyan). Meg olyan mondatok is. Viszont szinte semmi nincs benne, amiből kiderülne, hogy a kapott számnak miért is kellene bármiféle fizikához köze legyen. (Carrol, a fenti blog szerzője, fizikus, ezen kívül (jogosan) megjegyzi, hogy a finomstruktúra-állandó a standard modellben már egyáltalán nem fundamentális, hanem az elektrogyenge kölcsönhatás g és g' csatolásaiból származtatott mennyiség, bármi szép magyarázatnak - ami nem numerológia, hanem valamiféle egyesített elmélet kellene legyen - ezeknem az értékeit kellene kihoznia).

Ráadásul van, aki kipróbálta a formulát (numerikusan kiértékelve), és nem az 1/137-ed jött ki:
www.reddit.com/r/math/comments/9ig4ei/atiyahs_computation_of_the_fine_structure/

Hölderlin ist ihnen unbekannt? 2018.10.01. 07:20:46

Remicencia mincia mollus trepacipiencipirkogomitropikus gokkusz.

balmoral 2018.10.01. 08:10:18

Jótündér, jó, hogy ezt leírtad, mindjárt visszatért az életkedvem, bár én csak két kohomológiaosztályt végeztem, azt is a dolgozók iskolájában. A következő emeletes birtokos szerkezet: "a kompakt sokaságok elliptikus operátorainak indexének megértéséért" helyesen: "a kompakt sokaságok elliptikus operátorai indexének megértéséért". A magyarban az ilyen nakanakája birtokos szerkezet nehezen kifejezhető, és a fentiek szerint szoktunk eljárni.

ikaruss 2018.10.01. 08:41:55

@szazharminchet:

Kösz, közben utána néztem. A finomszerkezeti állandó Dattoli munkája nyomán kerülhetett képbe: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1009/1009.1711.pdf
Teljesen egyetértek azzal, hogy "Viszont szinte semmi nincs benne, amiből kiderülne, hogy a kapott számnak miért is kellene bármiféle fizikához köze legyen."
Valóban, ilyen alapon a nick nevedből is lehetne származtatni. :)
Mostanában olvastam a Riemann hipotézis kapcsán, hogy valami véletlen "kvantumdobok" valamiféle sajátrezgésinek valamiféle eloszlása hasonlít a prímszámok valamiféle eloszlásához, és milyen szép lenne, ha a prímszámokat valamiféle fizikai folyamatok (térelmélet) generálná.
Azt hiszem ez feje tetejére állítaná a matematikusok alapvetően platonisztikus felfogását a matematikai objektumok természetéről.

szazharminchet 2018.10.01. 11:38:23

@ikaruss: A nicknevem és a finomstruktúra-állandó esetében ez fordítva van, a nickem származtatható a finomstruktúra-állandóból (reciprok+egészekre kerekítés).

A különböző számmisztikus 137-eknek hosszú története van. Pl. Sir Arthur Eddington (aki mellesleg Királyi csillagász is volt, és megmérte a Nap melletti fényelhajlást, ezzel kísérleti bizonyítékot szerezve az Általános Relativitáselméletnek) is elkövetett egyet, de az akkori mérési pontosság mellett még 1/136 tűnt a pontos értéknek. Eddington szépen ki is hozta, csak hamarosan javultak a mérések. Akkor kidumálta, hogy miért kell a 136-hoz még 1-et is hozzáadni. Utána rá is ragasztották a gúnynevet, hogy Sir Arthur Adding-One.

szazharminchet 2018.10.01. 11:50:28

@ikaruss: A prímszámos cucchoz:
1. Kvantumdob: ha megütsz egy dobot, az valamilyen sajátfrekvenciák keverékén szólal meg. A sajátfrekvenciák a dob rezgéseit leíró lineáris differenciáloperátor sajátértékei, ezek halmaza a spektrum.
A kvantummechanikában is lineáris operátorok spektruma játszik alapvető szerepet: így lehet kiszámolni egy rendszer lehetséges energiaszintjeit.
A dob-analógia egy híres cikk miatt lett "divat": Mark Kac vetette fel 'Can you hear the shape of a drum?' c. cikkében (1966), hogy vannak-e olyan alakzatok a síkban, amiken a Laplace operátor spektruma megegyezik. Ha nincsenek, akkor lehet hallani a dob alakját. A válasz (Carolyn Gordon, David Webb, Scott Wolpert, 1992) az, hogy vannak azonos spektrumú alakzatok, a dob alakját nem lehet hallani.

2. Mi köze ennek a Riemann-hipotézishez: ha feltesszük, hogy van egy olyan lineáris operátor, aminek a spektruma éppen a Riemann-zeta nullahelyei, akkor nagyon sok mindent tudunk ezekről mondani. A módszer egyik úttörője Sir Michael Berry. Ha jól tudom, még nem sikerült ilyen operátort konstruálni. (Ja, és ez persze nem térelmélet, csak sima kvantummechanika.)

3. Azt nem tudom, hogy ennek van-e bármi köze a matematikai objektumok platonisztikus természetéhez, már ha egyáltalán van nekik olyanjuk. Fizikusként úgy gondolom inkább, hogy a matematika fogalomalkotásai hasznos és haszontalan absztrakciók. A hasznosak segítik a gondolkodásunkat, valaminek a megértését. A haszontalanok pedig eleinte olyanok, mint egy műalkotás, valamilyen értelemben önmagukért valók, aztán egyszer csak kiderül, hogy hasznosak.

közösperonos átszállás 2018.10.01. 13:10:08

@szazharminchet: "aztán egyszer csak kiderül, hogy hasznosak."

Szerintem: aztán egyszer csak kiderülHET, hogy hasznosak.

(Hogy mind és törvényszerűen hasznos, azt én nem hiszem.

szazharminchet 2018.10.01. 13:48:24

@közösperonos átszállás: Biztos nem mind, vagy legalábbis nem egyformán, de más műalkotások sem egyformán "jók". Vannak haszontalannak tűnő matematikai absztrakciók, amik jók abban az értelemben, hogy a matematika belső logikája valahogy "kikényszerítette" őket; nem tudjuk, hogy miért jók, de valahogy "mély" eredmények. Ezekről ki szokott derülni, hogy a további fejlődéshez (vagy a matematikán belül, vagy valamilyen alkalmazásban) hasznosak.

Lehet példákat is hozni. A számelméletről első ránézésre elég nehéz elképzelni, hogy hasznos, G.H. Hardy, aki meggyőződéses pacifista , és korának egyik legnagyobb matematikusa volt, az "A mathematician's apology"-ban leírja, hogy a szépségéért foglalkozik az amúgy teljesen haszontalan számelmélettel. Aztán ma meg a számelméleten alapul az egész kriptográfia.

De hasonló a Hilbert-tér operátorok spektrumának a definíciója. A sajátérték-fogalom az egyszerű, viszont nagyon sokszor nehéz szép, általános, jól alkalmazható dolgokat mondani egy operátor sajátértékeiről. A "spektrum" sokkal általánosabb, mint a sajátérték, és a definíció egyes részei önkényesnek tűnnek (miért kellene egy A nemfolytonos operátor z reguláris pontjában A-z inverzének folytonosnak lennie? miért foglalkozunk folytonossággal, ha már az induláskor nem volt folytonos az operátorunk?), mégis, ez a definíció megnyitja az utat egy csomó hasznos eredményhez.

spinat 2018.10.01. 16:02:03

@ámbátor: nem, az ahhoz kell, hogy Nobel dijat kapj, mert a késön érö tudósok általában meghalnak, mire a bizottság döntene róluk.

ámbátor 2018.10.01. 17:43:06

@spinat: matekban az nehéz, mert ott nincs Nobel. Viszont él egy olzan közvélekedés, hogz más tudományokban a legproduktívabb kor a harmincas évek vége, negyvenes eleje, ezzel szemben matematikusoknál ez (statisztikusan) korábbra esik; a legnagyobb matematikusok általában korán leteszik a névjegyüket.

Idomeneusz 2018.10.02. 00:29:10

@ámbátor: Meg tudnád mutatni ezt a "statisztikát"?

ámbátor 2018.10.02. 10:57:21

@Idomeneusz: Nem számítottam a spanyol inkvizícióra, amikor a közvélekedgsre hivatkoztam gs nem vagytok hajlandó kiállni az állítás mellett, mert ha van is ilyen eltérés az átlagokban, nyilván hatalmas a szórás és nincs prediktíve ereje az egyéni teljesítményekre.
De azért legyen itt egy link (hátha komolyan kérdezted):
www.kellogg.northwestern.edu/faculty/jones-ben/htm/Age%20and%20Scientific%20Genius.pdf
Meg még egy idézet:
"Simonton (1997) has convincingly demonstrated that “creative productivity is a function of career age, not chronological age” (p. 70). Although career age and chronological age are highly correlated, latecomers to a discipline show the same career trajectories and landmarks, as well as conformity to the 10-year rule (Simonton, 1997, 2003). For instance, mathematicians peak on average at 26.5 years of career age, while historians peak at 38.5 (Simonton, 1997). Because prefrontal-dependent mental functions do not significantly decline until old age, the distinction between chronological and career age can be accommodated as long as the creator’s career onset is not at an advanced chronological age."

Idomeneusz 2018.10.02. 11:08:22

@ámbátor: Köszönöm! A pdf-et sajnos nem tudom megnyitni (most), de az idézetben látom, hogy "mathematicians peak on average at 26.5 years of career age". Ez mondjuk hihetônek tûnik.

ámbátor 2018.10.02. 11:16:58

@Idomeneusz: A pdf nem matematikus-specifikus, hanem általában foglalkozik a tudósok korával és amellett, hogy a "Noted Achievement"-hez kapcsolódó életkor tetözését a késö harmincas évekre teszi, kimutat egy folyamatot is miszerint az elmúlt száz év során ez egyre késöbbre tolódott.

rdos · http://h2o.ingyenweb.hu/tema/6.html 2018.10.02. 14:06:54

Félve kérdezem az értőket az eredeti kérdés a sejtés témában. Ha jól értem a kérdés "csak" az, hogy van-e valamilyen szabályszerűség a prímszámok eloszlásában? Amennyire időm engedte utána olvastam a kérdésnek és úgy a komplex számoknál kb. meg is álltam, mert azok nekem túl komplexek. :-(

Így messziről és kibicként nekem ez egy "szimpla" leíró statisztikai kérdésnek tűnik, amit ha máshogyan nem, erőből (számítógépekkel) ha nem is pontosan, de egyre jobban közelítően meg lehetne oldani.

A számegyenesen tíz alapú logaritmikus, vagy természetes szám alapú logaritmikus, vagy tetszés szerinti számtani vagy inkább mértani sor menti osztályokat - tartományokat képezve meg lehetne állapítani a tartományba eső prímek darabszámát, a tartomány fölső és alsó burkolóját, átlagát, mediánját akár úgy is, hogy az egymással mondjuk 5,123 -szoros arányban lévő osztályközök kezdőpontját mondjuk mikrononként csúsztatjuk és persze ezzel a teljes X tengely csúszna. Ha még valami periodicitás is kimutatható lenne innen már egy sima XY függvénnyel vagy függvény sorral a prímek X menti eloszlása valamennyire pontosan leírható lenne.

Értem én hogy ez nem bizonyítás de felteszem vannak olyan felhasználási területek ahol már ez is segít. Nem mellékesen ha látjuk az időben egyre pontosabb statisztikát az termékenyítőleg hathat a bizonyításra is, nyilván értőknek.

A kibicnek könnyű. :-) Boccs ha valami oltári butaságot kérdeztem.

rdos · http://h2o.ingyenweb.hu/tema/6.html 2018.10.02. 14:26:58

Ami kimaradt. Nem az én ötletem. Csak printben tudom megadni a könyvet. Mark Buchanan a szerző, "Itt és mindenütt" címmel, "ELŐRE JELEZHETETLEN ... avagy miért egyszerűbb a világ mint gondolnánk" alcímmel adta ki Talentum Tudományos Könyvtár sorozatban az Akkord Kiadó magyarul 2oo4-ben.

Ebben a szerző egy csomó számlálható mérhető természeti és társadalmi akár élettani jelenség egyszerű leíró statisztikáját adta meg, ahol is az előző hsz-emben hasra ütésre adott 5,123 helyett mindenféle hatvány mentén voltak az egyes jelenségek osztályközei és kiadta az egyenest eredményül (nincs legnagyobb, mindig van nagyobb, legfeljebb eddig még nem mértünk - tapasztaltunk nagyobbat).

Hátha a prímekre is működhetne.

szazharminchet 2018.10.03. 12:03:46

@rdos: Az ilyesmi sejtéseket szokták ellenőrizni számítógéppel. A wikipedia szerint pl. az első 10000000000000 nullahelyére a zetafüggvénynek igaz az állítás. De nem ez a kérdés, hanem hogy mindre igaz-e.
(Szintén a prímszámok eloszlására sokminden igaznak tűnik kurvanagy számokig, de tudjuk, hogy az összes prímszámok közül azok, amik beleférnek egy tetszőlegesen nagy számítógépbe, végtelenül kis részt alkotnak, ezek ugyanis véges sokan vannak, a prímszámok meg végtelenül sokan. Ez utóbbit biztosan tudjuk, mert ha véges sok lenne, mondjuk p1, p2, ..., pN, akkor ellentmondásra jutnánk, ugyanis ezek egyike sem osztja p1 p2 ... pN + 1 -et.)

rdos · http://h2o.ingyenweb.hu/tema/6.html 2018.10.03. 14:02:43

@szazharminchet: Köszönöm a választ. Na, akkor nem találtam föl a spanyol viaszkot most sem. :-)

Mark Buchanan-t csak azért ajánlottam mert egészen egyszerű a számtana és rengeteg természeti jelenség leírható vele (persze mindnek más vagy kicsit más a paramétere). Felteszem ha már számítógéppel számolunk az egyszerű gyakorisági eloszlás nem is akkora előny. Ha jól értelek, a véges tárhely a probléma egy végtelen számsorra. :-(

Erre a végtelenül egyszerű problémára valóban nincs válasz. :-(

jotunder · http://orulunkvincent.blog.hu 2018.10.03. 14:48:07

@rdos: A Riemann-hipotézis formálisan egy konkrét függvény gyökeiről szól egy sávban a komplex számsíkon. Látszólag nincs is benne prím. De valójában azzal ekvivalens a Riemann-hipotézis, hogy a prímszámok nagyjából úgy helyezkednek el, mintha rögzítenénk n-ig a várható elemszámukat és azon kívül már véletlen lenne a dolog (a teljeseb véletlenség a Mertens sejtés és arról már tudják, hogy nem igaz).
A mezei prímszámtétel, a prímszámok eloszlásáról is nehéz. Meg lehet érteni egyetemi komplexfüggvénytan tudással, de azért elég durva. És ezek a módszerek durvultak el az elmúlt százhúsz évben. Időnként jön egy új ötlet, de azok brutálisan komplikált ötletek. Azt szeretné az újságolvasó, hogy a megoldást ő is értse. Az analitikus számelmélet pedig nem kívánsághangverseny.

perro morado 2018.10.03. 16:51:56

www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo&t=3s

www.youtube.com/watch?v=VTveQ1ndH1c

Gimis matektudás + a komplex számok minimális ismerete kell csak hozzá, ennél közérthetőbben szerintem nehéz elmagyarázni ezt a dolgot.

rdos · http://h2o.ingyenweb.hu/tema/6.html 2018.10.03. 20:26:30

@jotunder: Köszönöm a választ. Mindig kiderül, hogy nincs királyi út. :-(

Ha már vagy harmincöt éve "rizikó faktorba" raktam a komplex, nem hogy függvényeket, de még a komplex számokat is a matek szigorlatra (valami négyzetgyök alatt mínusz 1 rémlik, ami egyből kivágta a "biztosítékomat" :-)), erre a kis időre szívem szerint kihagynám a "komplexitást". :-( Nekem az iparban eddig nem kellett, szerintem később sem fog kelleni.

Ettől függetlenül örülnék ha valakinek, vagy valakiknek sikerülne bizonyítani a sejtést. :-)

Sok sikert kívánok hozzá az értőknek, a matematika tudományának a művelőinek.

ikaruss 2018.10.04. 14:29:56

@perro morado:
Kösz, hogy ezeket hoztad. Valóban elemi eszközökkel teszik érthetővé a problémát.