Elindult egy qubit.hu nevű tudomány-slash-technika-slash-cooldolgokúgyáltalában portál, ami a 444.hu-hoz kötődik. Itt jelent meg Kálmán László nyelvész cikke a "rendezetlenségről". A szerző az entrópia fogalmát fogja majd bevezetni, mint a rendezetlenség mértékét és ehhez egy példát használ. Erről a példáról fogok most írni egy posztot, jó mi?
1. A példa. Adott egy teknős, ami egy útkereszteződésben áll és összesen négy dolgot tehet : Északnak (E), Keletnek (K), Nyugatnak (N), Délnek (D) indul. Azaz, ha megfigyeljük a teknőst, akkor egy sorozatot látunk, mint például ezt
KENEDEKNNEKEENDEKEDNEEKKKKNNNNNNNDEDEDKKKNNNDEKKKENDKE.................
A szerző lényegében ennek a sorozatnak a rendezettségét/rendezetlenségét akarja definiálni, ezért eltekint a betűk sorrendjétől, és kizárólag a gyakoriságukkal akar foglalkozni, amit a wikipedia pár sorban intéz el Shannon entrópia címszó alatt, de ez legyen a qubit.hu problémája ne a miénk. Ennek a teknősnek kultúrtörténeti jelentősége van, nagyjából mindenhez van köze, ami él és mozog, és most erről leírom a véleményem. OK?
2. A teknős mint fizikai rendszer.
Amikor a teknősről beszélünk akkor valójában egy végtelen sorozatra gondolunk, ami K, E, D és N betűkből áll. De hol van itt fizika? Mi mozog?
A teknős nagyon hasonlít a Naprendszerre. Ez egy elég erős mondat, tudom, de meg fogom magyarázni. Tekintsük (kedvenc szavam) az összes lehetséges teknős alapállapotot, azaz az összes lehetséges K,E,D,N sorozatot. Ebben vannak egyszerűbb sorozatok, mint pl. a KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK... vagy a kicsit bonyolultabb KEKEKEKEKEKEKEKEKEKEKEKE...... és persze a mi teknősünk a
KENEDEKNNEKEENDEKEDNEEKKKKNNNNNNNDEDEDKKKNNNDEKKKENDKE.................
A sorozatok terét fázistérnek hívják és ebben a fázistérben értelmezhető a teknős dinamikája. Teknősünk minden egyes másodpercben eggyel jobbra lép, tehát a következő másodpercben
ENEDEKNNEKEENDEKEDNEEKKKKNNNNNNNDEDEDKKKNNNDEKKKENDKE................. majd
NEDEKNNEKEENDEKEDNEEKKKKNNNNNNNDEDEDKKKNNNDEKKKENDKE ...... helyre fog lépni. Ez az ő dinamikája.
Amennyiben a teknős kezdőpozíciója a KKKKKKKK...... lenne, akkor semmi sem történne, maradna a helyén. Ha a KEKEKEKEKEKEKE.... lenne, akkor oszcilliálna a KEKEKEKEKEKEKE.... és az EKEKEKEKEKEKEK..... sorozat között, mint valamiféle különös diszkrét inga.
A Naprendszerben egy pozíció nem egy végtelen sorozat, hanem 48 darab szám (mondjuk). Ez a 48 darab szám a nyolc bolygó tömegközéppontjának sebesség- és helykoordinátáját írja le. A dinamika egy 48 dimenziós térben való mozgást jelent, és ez még istenesebb, mint az ideális gázok dinamikája.
3. A valószínűségről avagy a lényeg.
Ott a sorozatunk: a KENEDEKNNEKEENDEKEDNE.....
Mi a valószínűsége annak, hogy egy adott ponton a sorozatban E-t látunk ? Ezen a kérdésen csúszik meg jó nagyot a qubit.hu. Ennek a kérdésnek ugyanis nem nagyon van értelme. Jelölje E(n) az első n betűből az E-k számát. Ha szerencsénk van az E(n)/n hányados tart valamilyen értékhez. Ami nem jelenti azt, hogy a hasonlóan definiált K(n)/n is tartani fog valamihez, egyáltalán nem biztos, hogy a betűk gyakorisága egyszerűen értelmezhető. Könnyű olyan sorozatot konstruálni, amelyben ez nincs így. 1 darab K, aztán tíz darab E aztán ezer darab K, aztán tízezer darab E és így tovább. Baj van, ez a helyzet. De....
4. A fázistérfogat fogalma.
Az inga, a Naprendszer és az ideális gázok esetében arról van szó, hogy egy absztrakt pont egy absztrakt fázistérben bolyong. A fizikusok kitaláltak egy fogalmat, amit fázistérfogatnak neveznek. Ennek a fogalomnak a segítségével értelmezhető az, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a bolygók vagy a gázmolekulák bizonyos konfigurációkban vannak. Formálisan a fizikai rendszer egy T: F-> F transzformációt jelent, ahol az F az a fázistér. A Naprendszer esetében az a 48 dimenziós térdarab, ami a bolygók potenciális helyzetét írja le. A T az egységnyi idő alatti változást írja le. Ez a fizika.
A fázistérfogat azt jelenti, hogy definiálunk egy súlyt az absztrakt fázistéren. Az egész tér súlya egységnyi és minden (well, ebbe nem fogunk belemenni) résznek van valamennyi súlya. Úgy kell ezt definiálni, hogy ha A egy darabja a fázistérnek és B azon fázispontok halmaza, amely egységidő múlva pont A-ba ér, akkor A súlya egyenlő B súlyával (A súlyát A fázistérfogatának hívják, a súly rövidebb szó). Mondjuk az sem árt meg, ha két közös pontot nem tartalmazó darab együttes súlya a darabok súlyának összege, ez a súly nevű műfaj sajátossága.
Ez valamiféle megmaradási tétel, és az egyszerűen leírható fizikai rendszerekben egyszerűen ki lehet számolni azt, hogy mi ez a súly (a súlyokat függvények integrálása adja meg, és a függvényt lehet kiszámolni, nagyon egyszerű rendszerek esetében teljesen pontosan). A szép rendszerekben tehát általában egy darab fázistérfogat van.
5. A teknős fázistérfogata.
A teknős fázistere nem egészen az összes lehetséges sorozatok tere. Csak azon sorozatok számítanak bele a fázistérbe, amelyekben minden egyes véges részsorozat már ott volt a teknős által meghatározott kezdősorozatban. Ez kurva nehéz dolog, elismerem. Mondjuk ha valamiért a teknős sorozatában minden véges részsorozat előfordul, akkor tényleg az összes sorozatból áll a fázistér. Ha a teknős írtózik a KKK konfigurációtól, mert erősen liberális beállítottságú, akkor csak olyan sorozatok lesznek a fázistérben amelyekben nincs KKK. Ami biztos az az, hogy a teknős sorozata és minden olyan sorozat, amelybe az idők folyamán belelép a fázistérben lesz.
A fázistérfogat egyszerűen egy súly a teknős fázisterén, amelyik úgy viselkedik, ahogy azt az előző pontban leírtam.
6. Miért létezik fázistérfogat ?
Nem Neumann János nevéhez kötődik a teknősök fázistérfogata, de majdnem. Valójában két szovjet matematikus bizonyította be, hogy mindig van fázistérfogat (de néha több mint egy, akár végtelen sok is lehet) 1937-ben, nem éppen a legkellemesebb szovjet időkben. Nyikolaj Mitrofanovics Krilov és Nyikolaj Nyikolajevics Bogoljubov. És itt jön be Isten a történetbe. A világmindenségben Isten teremtette meg a fázistérfogatot, de teknősök fázistérfogata az emberi találmány. A halmazelmélet axiómarendszerének megkonstruálása egy emberi döntés volt, és enélkül az emberi döntés nélkül nincs Krilov-Bogoljubov tétel és nem létezik Neumann Jánosnak az a tétele, ami azt lényegében előkészítette. Az bizony a kiválasztási axiómán múlik, ami emberi törvény, nem isteni. Nem semmi.
7. Ha van fázistérfogat, akkor van entrópia.
Ha van fázistérfogat, akkor beszélhetünk arról, hogy mi a valószínűsége annak, hogy K-t látunk, vagy két E-t egymás mellett. A K-val kezdődő sorozatok illetve az EE párral kezdődő sorozatok súlya a fázistérben. Ez egy értelmes dolog. Mostantól van fizikánk. Igaz a híres időátlag tétele a fizikának, tehát ha véletlenül (a fázistérfogat után beszélhetünk erről) kiválasztunk egy pontot a fázistérben és megnézzük, hogyan halad, akkor fajlagosan annyi időt fog eltölteni a fázistér egy részében, mint amennyi annak a térfogata. A rendszer entrópiáját egy meglehetősen bonyolult, de azért nem annyira bonyolult formula adja meg, amit Kolmogorov-Sinai formulának neveznek, ami éppen az első pontban linkelt Shannon-entrópiák ún. normalizált limesze. Ha csak egy fázistérfogat van, akkor meglepő módon az entrópia az pontosan a fázistér fraktáldimenziója lesz.
........................................................................................
Ez van. Ha ezt a teknős gondolatot végig akarja vinni az ember, akkor ez lesz belőle. Nem lehet leegyszerűsíteni, nincs királyi út, ez az út van, más nincs. Ennyit akartam mondani. Legyen a végére valami áthallás? Nem tudom.
